有限维Hilt空间是什么呢??

作者:物理

  Hilbert空间就是定义了内积的空间,其元素没有任何限制,只要在元素间定义了内积就行

  向量空间指的是线性空间,也就是空间中的元素是满足线性关系的,线性空间的特点就是里面有一组基,可以用来表示整个空间。

  可以证明,只要是定义了内积,那么元素间就满足了某种线性关系,因此Hilbert空间也可以定义为在线性空间中定义了内积的空间。因此Hilbert空间是一种特殊的线性空间

  希尔伯特空间(Hilbert space)由大卫希尔伯特(David Hilbert)提出,是一个完备的内积空间。希尔伯特空间将傅立叶展开及诸如傅立叶转换之类的线性转换概念加以厘清并广义化。它是有限维欧几里得空间向无穷维的推广,也是巴拿赫空间(Banach space)的特例。其并出现在泛函分析之研究范畴。

  一个量子系统的状态ψ,可将其张开在一线性空间,量子力学就是在这个空间里开展活动的。集合{ψ}不仅是一个一般的线性空间,而且是一个满足平方可积条件并定义了内积、由复函数构成的线性空间。在数学上再符合一些严格定义,如此的线性空间即为希尔伯特空间。希尔伯特空间中的任何一维子空间(subspace)都视为矢量,内积采取的方式为矢量与另一矢量之共轭矢量进行各基底(basis)分量的点乘(dot product)

  在数学领域,希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广,其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿,希尔伯特空间也是一个内积空间,其上有距离和角的概念(及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念)。此外,希尔伯特空间还是一个完备的空间,其上所有的柯西列等价于收敛列,从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式,而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

  向量空间的一个直观模型是向量几何,几何上的向量及相关的运算即向量加法,标量乘法,以及对运算的一些限制如封闭性,结合律,已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。

  在现代数学中,“向量”的概念不仅限于此,符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

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